Bài tập 10, § 4

a) Cho $\mathscr{E}$ là một không gian Riesz, $\mu$ là một dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{E}$ sao cho quan hệ $\mu(|x|) = 0$ kéo theo $x = 0$; $\mu(|x|)$ khi đó là một chuẩn trên $\mathscr{E}$, và giả sử rằng $\mathscr{E}$, được trang bị chuẩn này, là đầy đủ. Khi đó suy ra rằng $\mathscr{E}$ là một dàn có thứ tự đầy đủ (Chương II, §2, Bài tập 8 e)). Do đó (Chương II, §1, Bài tập 12 và 13) tồn tại một không gian địa phương compact $X$, là tổng của một họ $(K_\alpha)$ các không gian Stone compact, sao cho $\mathscr{E}$ đẳng cấu với một không gian các hàm số liên tục (hữu hạn hoặc không) trên $X$ chứa không gian $\mathscr{H}(X)$. Đồng nhất $\mathscr{E}$ với không gian này, hạn chế của $\mu$ trên $\mathscr{H}(X)$ khi đó là một độ đo dương trên $X$. Hãy chứng minh rằng $\mathscr{E}$ đẳng cấu chính tắc với không gian $L^1(\mu)$; chính xác hơn, với mọi hàm $g$ khả tích theo $\mu$ xác định trên $X$, tồn tại duy nhất một hàm $f \in \mathscr{E}$ tương đương với $g$ đối với độ đo $\mu$ (chú ý rằng mọi phần tử $\geq 0$ của $\mathscr{E}$ là cận trên của một dãy tăng các phần tử của $\mathscr{H}(X)$, và rằng $\mathscr{H}(X)$ là trù mật trong $\mathscr{L}^1(\mu)$).

b) Suy ra từ a) rằng, với mọi không gian compact $K$, tồn tại một không gian địa phương compact $S$, là tổng tôpô của một họ các không gian Stone compact, và một độ đo dương $\nu$ trên $S$, với giá đỡ bằng $S$, sao cho không gian dàn có thứ tự đầy đủ $\mathscr{M}(K)$ của các độ đo trên $K$, được trang bị chuẩn $\| \mu \|$, là đẳng cấu với $\mathscr{L}^1(\nu)$ (xét dạng tuyến tính $\mu \mapsto \mu(K)$ trên $\mathscr{M}(K)$).