Exercice 12, § 4

Soit X un espace topologique séparé. Pour tout couple (K, U) formé d’un ensemble compact K et d’un ensemble ouvert U dans X, soit $I(K, U)$ l’ensemble des parties M $\subset X$ telles que $K \subset M \subset U$, et soit $\mathscr{T}$ la topologie sur $\mathfrak{P}(X)$ engendrée par l’ensemble des parties $I(K, U)$ de $\mathfrak{P}(X)$.

a) Montrer que chacun des ensembles $I(K, U)$ est à la fois ouvert et fermé dans $\mathfrak{P}(X)$; en déduire que $\mathfrak{P}(X)$, muni de la topologie $\mathscr{T}$, est un espace complètement régulier et totalement discontinue.

b) Pour que l’application $M \mapsto \bigcap M$ de $\mathfrak{P}(X)$ sur lui-même soit continue (pour la topologie $\mathscr{T}$), il faut et il suffit que $X$ soit compact.

c) On prend pour $X$ l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$. Montrer que les applications $(M, N) \mapsto M \cup N$ et $(M, N) \mapsto M \cap N$ de $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ dans $\mathfrak{P}(X)$ ne sont pas continues pour la topologie $\mathscr{T}$.

d) On suppose $X$ localement compact. Montrer que la topologie induite par $\mathscr{T}$ sur l’ensemble des parties compactes de $X$ est plus fine que la topologie déduite d’une structure uniforme de $X$ par le procédé de l’exerc. 5 de Top. gén., chap. II, 3e éd., § 1 ; ces deux topologies ne peuvent être identiques que si $X$ est un espace discret.