Bài tập 12, § 4

Cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff. Với mỗi cặp $(K, U)$ tạo bởi một tập compact $K$ và một tập mở $U$ trong $X$, gọi $I(K, U)$ là tập hợp các tập con $M \subset X$ sao cho $K \subset M \subset U$, và gọi $\mathscr{T}$ là tôpô trên $\mathfrak{P}(X)$ sinh bởi tập hợp các tập con $I(K, U)$ của $\mathfrak{P}(X)$.

a) Chứng minh rằng mỗi tập $I(K, U)$ vừa mở vừa đóng trong $\mathfrak{P}(X)$; từ đó suy ra rằng $\mathfrak{P}(X)$, được trang bị tôpô $\mathscr{T}$, là một không gian hoàn toàn chính quy và toàn bất liên.

b) Đối với ánh xạ $M \mapsto \mathbf{C}M$ của $\mathfrak{P}(X)$ lên chính nó là liên tục (đối với tôpô $\mathscr{T}$), điều kiện cần và đủ là $X$ compact.

c) Lấy $X$ là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng các ánh xạ $(M,N) \mapsto M \cup N$ và $(M,N) \mapsto M \cap N$ từ $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ vào $\mathfrak{P}(X)$ không liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}$.

d) Giả sử $X$ là compact địa phương. Chứng minh rằng tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên tập hợp các tập compact của $X$ mịn hơn tôpô suy ra từ một cấu trúc đều trên $X$ theo thủ tục của Exer. 5 của GT, II, §1; hai tôpô này không thể đồng nhất trừ khi $X$ là một không gian rời rạc.