Exercice 18, § 4

Soit $X$ un espace localement compact paracompact.

a) Montrer que l’espace $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ est isomorphe à un produit d’espaces de Fréchet, et est donc tonnelé.

b) Pour qu’une partie H de $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ soit bornée pour la topologie de la convergence compacte, il faut et il suffit qu’il existe une partie compacte K de X telle que $\operatorname{Supp}(\mu) \subset K$ pour toute $\mu \in H$ et que H soit bornée pour la topologie ultraforte (comparer à l’exerc. 17 c)). La topologie induite sur H par la topologie de la convergence compacte est alors identique à la topologie vague.

c) Montrer que sur l’ensemble $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ la topologie induite par la topologie de la convergence compacte sur $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ est identique à la topologie vague. En est-il de même lorsque X n’est pas paracompact (exerc. 17)?