Bài tập 18, § 4

Cho X là một không gian compact địa phương, paracompact. (a) Chứng minh rằng không gian $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ đẳng cấu với một tích của các không gian Fréchet, do đó là thùng. (b) Để một tập con H của $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ bị chặn đối với tôpô hội tụ compact, điều cần và đủ là tồn tại một tập con compact K của X sao cho $\mathrm{Supp}(\mu) \subset K$ với mọi $\mu \in H$ và sao cho H bị chặn đối với tôpô siêu mạnh (so sánh với Bài tập. 17 c)). Tôpô cảm sinh trên H bởi tôpô hội tụ compact khi đó đồng nhất với tôpô yếu. (c) Chứng minh rằng trên tập hợp $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ tôpô cảm sinh bởi tôpô hội tụ compact trên $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ đồng nhất với tôpô yếu. Điều tương tự có đúng khi X không paracompact (Bài tập. 17) không?