Exercice 19, § 4

On munit $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte, $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$. Soit $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties compactes de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$; montrer que l’application bilinéaire $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ de $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ est $\mathfrak{S}$-hypocontinue. Soit $\mathfrak{T}$ l’ensemble des parties bornées de $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$; montrer que si X est paracompact, l’application bilinéaire précédente est aussi $\mathfrak{T}$-hypocontinue; cette dernière propriété est-elle encore vraie lorsqu’on ne suppose plus X paracompact (exerc. 17)?