Bài tập 19, § 4

Trang bị $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ tôpô hội tụ compact, và $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ tôpô hội tụ đều trên các tập hợp compact của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$. Gọi $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập hợp compact của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$; hãy chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính $(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$ từ $\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ là $\mathscr{S}$-nửa liên tục. Gọi $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập hợp bị chặn của $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$; hãy chứng minh rằng nếu X là paracompact, ánh xạ song tuyến tính trên cũng là $\mathscr{T}$-nửa liên tục; tính chất sau đây còn đúng không khi X không còn được giả thiết là paracompact (Bài tập 17)?