Exercice 2, § 4

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$, et soit $\Omega$ l’espace topologique obtenu en munissant l’espace $\mathscr{L}^1$ de la topologie de la convergence simple dans $\mathbf{R}$. Montrer que l’application $f \mapsto \int f \, d\mu$ de $\Omega$ dans $\mathbf{R}$ n’est continue en aucun point de $\Omega$.