Exercice 20, § 4

Soient X, Y deux espaces localement compacts paracompacts. On munit les espaces $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ et $\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte.

a) Montrer que lorsqu’on munit $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte, l’application $(\mu, v) \mapsto \mu \otimes v$ est $(\mathfrak{S}, \mathfrak{T})$-hypocontinue, $\mathfrak{S}$ désignant l’ensemble des parties bornées de $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ et $\mathfrak{T}$ l’ensemble des parties bornées de $\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$ (utiliser l’exerc. 18 b)).

b) Montrer que lorsque X et Y sont dénombrables à l’infini et qu’on munit $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ de la topologie de la convergence compacte, l’application $(\mu, v) \mapsto \mu \otimes v$ est continue. (S’inspirer de la démonstration de l’exerc. 3 du chap. III, § 4 et, en introduisant dans X (resp. Y) une partition continue de l’unité subordonnée à un recouvrement ouvert localement fini, raisonner comme dans Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, exerc. 9 a)).

c) Si X est discret, l’espace $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ s’identifie à l’espace somme directe $\mathbf{C}^{(X)}$, muni de la topologie localement convexe la plus fine. En déduire un exemple où X et Y sont discrets, X non dénombrable et où l’application $(\mu, v) \mapsto \mu \otimes v$ n’est pas continue lorsqu’on munit $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ de la topologie vague (cf. Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, exerc. 9 b)).