Bài tập 20, § 4

Cho X, Y là hai không gian paracompact địa phương compact. Trang bị cho các không gian $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ và $\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$ tôpô hội tụ compact. a) Chứng minh rằng khi $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact, ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ là $(\mathscr{S}, \mathscr{T})$-nửa liên tục, trong đó $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập con bị chặn của $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ và $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập con bị chặn của $\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$ (sử dụng Bài tập 18 b)). b) Chứng minh rằng khi X và Y đếm được ở vô hạn và $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô hội tụ compact, ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ là liên tục. (Lấy cảm hứng từ chứng minh của Bài tập 3 của Ch. III, §4 và đưa vào X (tương ứng Y) một phân hoạch đơn vị liên tục phụ thuộc vào một phủ mở hữu hạn địa phương, hãy lập luận như trong TVS, II, §4, Bài tập 9 a).) c) Nếu X là rời rạc, không gian $\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$ có thể được đồng nhất với không gian tổng trực tiếp $\mathbf{C}^{(X)}$, được trang bị tôpô lồi địa phương mịn nhất. Từ đó, suy ra một ví dụ trong đó X và Y là rời rạc, với X không đếm được, và trong đó ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ không liên tục khi $\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô mờ (xem TVS, II, §4, Bài tập 9 b)).