Exercice 3, § 4

Soient $I$ un intervalle dans $\mathbf{R}$, $f$ une application de $X \times I$ dans un espace de Banach $F$, telle que : 1° pour tout $\alpha \in I$, l’application $t \mapsto f(t, \alpha)$ de $X$ dans $F$ est intégrable ; 2° pour tout $t \in X$, l’application $\alpha \mapsto f(t, \alpha)$ admet une dérivée $f'_\alpha(t, \alpha)$ dans $I$; 3° il existe une fonction

intégrable $g \geqslant 0$ telle que $|f'_\alpha(t, \alpha)| \leqslant g(t)$ pour tout $t \in X$ et tout $\alpha \in I$. Dans ces conditions montrer que la fonction $u(\alpha) = \int f(t, \alpha)\, d\mu(t)$ est dérivable dans $I$ et qu’on a