Bài tập 3, § 4

Cho $I$ là một khoảng trong $\mathbf{R}$, $f$ là một ánh xạ từ $X \times I$ vào một không gian Banach $F$, sao cho: $1^\circ$ với mọi $\alpha \in I$, ánh xạ $t \mapsto f(t, \alpha)$ từ $X$ vào $F$ là khả tích; $2^\circ$ với mọi $t \in X$, ánh xạ $\alpha \mapsto f(t, \alpha)$ có đạo hàm $f'_\alpha(t, \alpha)$ trong $I$; $3^\circ$ tồn tại một hàm khả tích $g \geqslant 0$ sao cho $|f'_\alpha(t, \alpha)| \leqslant g(t)$ với mọi $t \in X$ và mọi $\alpha \in I$. Dưới các điều kiện này, hãy chứng minh rằng hàm $u(\alpha) = \int f(t, \alpha) d\mu(t)$ khả vi trong $I$ và rằng