Exercice 5, § 4

Soit $\mu$ une mesure positive sur un espace localement compact $X$. Pour toute fonction numérique $f$ (finie ou non), de signe quelconque, définie dans $X$, on désigne par $\mu^*(f)$ (intégrale supérieure de $f$) la borne inférieure des nombres $\mu(h)$ pour les fonctions $h \geqslant f$, intégrables et semi-continues inférieurement, lorsqu’il existe de telles fonctions, et $+\infty$ dans le cas contraire; cette définition coïncide avec celle du § 1, n° 3, lorsque $f \geqslant 0$. On désigne par $\mu_*(f)$ et on appelle intégrale inférieure de $f$ le nombre $-\mu^*(-f)$.

a) Montrer que si $f_1$ et $f_2$ sont deux fonctions numériques telles que $f_1(x) \leqslant f_2(x)$ presque partout, on a $\mu^*(f_1) \leqslant \mu^*(f_2)$.

b) Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions numériques telles que $\mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$ soit défini et $< +\infty$; montrer que $f_1(x) + f_2(x)$ est défini presque partout et qu’on a $\mu^*(f_1 + f_2) \leqslant \mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$ (se ramener au cas où $f_1(x) < +\infty$ et $f_2(x) < +\infty$ en tout point, à l’aide de a)).

c) Si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions numériques telles que $\mu^*(f_n) > -\infty$ à partir d’un certain rang, montrer que