Bài tập 5, § 4

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên một không gian compact địa phương $X$. Với mọi hàm số $f$ (hữu hạn hoặc không), với dấu tùy ý, xác định trên $X$, ta ký hiệu $\mu^*(f)$ (và gọi là tích phân trên của $f$) là cận dưới lớn nhất của các số $\mu(h)$ đối với các hàm $h \geq f$ khả tích và nửa liên tục dưới, khi các hàm như vậy tồn tại, và bằng $+\infty$ trong trường hợp ngược lại; định nghĩa này trùng với định nghĩa của §1, No. 3 khi $f \geq 0$. Ta ký hiệu $\mu_*(f)$, và gọi là tích phân dưới của $f$, số $-\mu^*(-f)$.

a) Chứng minh rằng nếu $f_1$ và $f_2$ là hai hàm số sao cho $f_1(x) \leq f_2(x)$ hầu khắp nơi, thì $\mu^*(f_1) \leq \mu^*(f_2)$.

b) Cho $f_1$ và $f_2$ là hai hàm số sao cho $\mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$ được xác định và $< +\infty$; chứng minh rằng $f_1(x) + f_2(x)$ được xác định hầu khắp nơi và $\mu^*(f_1 + f_2) \leq \mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$ (quy về trường hợp $f_1(x) < +\infty$ và $f_2(x) < +\infty$ tại mọi điểm, với sự trợ giúp của a)).

c) Nếu $(f_n)$ là một dãy tăng của các hàm số sao cho $\mu^*(f_n) > -\infty$ kể từ một chỉ số nào đó trở đi, chứng minh rằng $\mu^*(\sup_n f_n) = \sup_n \mu^*(f_n)$.