Exercice 6, § 4

a) Soit $f$ une fonction numérique telle que $\mu^*(f)$ (exerc. 5) soit fini. Montrer qu’il existe une fonction intégrable $f_1 \geqslant f$ telle que $\mu(f_1) = \mu^*(f)$; si $f_2$ est une seconde fonction intégrable telle que $f_2 \geqslant f$ et $\mu(f_2) = \mu^*(f)$, $f_1$ et $f_2$ sont équivalentes.

b) Pour qu’une fonction numérique $f$ soit intégrable, il faut et il suffit que $\mu^*(f)$ et $\mu_*(f)$ soient finis et égaux.

c) Soit $f$ une fonction numérique telle que $\mu^*(f)$ et $\mu_*(f)$ soient tous deux finis; soient $g$ et $h$ deux fonctions intégrables telles que $g \leq f \leq h$ et $\mu(g) = \mu_*(f), \mu(h) = \mu^*(f)$. Montrer qu’on a

d) Soient $f_1, f_2$ deux fonctions numériques telles que les nombres $\mu^*(f_1), \mu^*(f_2), \mu_*(f_1)$ et $\mu_*(f_2)$ soient tous finis; montrer que

(si $g_2$ est une fonction intégrable telle que $f_2 \leq g_2$ et $\mu^*(f_2) = \mu(g_2)$, remarquer que, pour toute fonction intégrable $h$ telle que $h \leq f_1 + f_2$, on a $h - g_2 \leq f_1$). En déduire que, si $f_1$ est intégrable, on a et $\mu^*(f_1 + f_2) = \mu^*(\sup(f_1, f_2)) + \mu^*(\inf(f_1, f_2))$ (pour cette dernière relation, utiliser l’exerc. 1 du § 1).

e) Soit $f$ une fonction intégrable. Pour qu’une fonction $g$, telle que $\mu^*(g)$ soit finie, soit intégrable, il faut et il suffit que

(si $g_1$ est une fonction intégrable telle que $g \leq g_1$ et $\mu^*(g) = \mu(g_1)$, remarquer que $f - g_1 \leq f - g$).