Bài tập 6, § 4

a) Cho $f$ là một hàm số số sao cho $\mu^*(f)$ (Bài tập 5) là hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một hàm khả tích $f_1 \geq f$ sao cho $\mu(f_1) = \mu^*(f)$; nếu $f_2$ là một hàm khả tích thứ hai sao cho $f_2 \geq f$ và $\mu(f_2) = \mu^*(f)$, thì $f_1$ và $f_2$ là tương đương.

b) Để một hàm số số $f$ là khả tích, điều kiện cần và đủ là $\mu^*(f)$ và $\mu_*(f)$ đều hữu hạn và bằng nhau.

c) Cho $f$ là một hàm số số sao cho $\mu^*(f)$ và $\mu_*(f)$ đều hữu hạn; cho $g$ và $h$ là hai hàm khả tích sao cho $g \leq f \leq h$ và $\mu(g) = \mu_*(f)$, $\mu(h) = \mu^*(f)$. Chứng minh rằng

d) Cho $f_1, f_2$ là hai hàm số số sao cho các số $\mu^*(f_1), \mu^*(f_2), \mu_*(f_1)$ và $\mu_*(f_2)$ đều hữu hạn; chứng minh rằng

(nếu $g_2$ là một hàm khả tích sao cho $f_2 \leq g_2$ và $\mu^*(f_2) = \mu(g_2)$, chú ý rằng, với mọi hàm khả tích $h$ sao cho $h \leq f_1 + f_2$, ta có $h - g_2 \leq f_1$). Từ đó, suy ra rằng nếu $f_1$ là khả tích thì

và $\mu^*(f_1 + f_2) = \mu^*(\sup(f_1, f_2)) + \mu^*(\inf(f_1, f_2))$ (đối với quan hệ sau, sử dụng Bài tập 1 của §1).

e) Cho $f$ là một hàm khả tích. Để một hàm $g$, sao cho $\mu^*(g)$ là hữu hạn, là khả tích, điều kiện cần và đủ là $\mu(f) = \mu^*(g) + \mu^*(f - g)$ (nếu $g_1$ là một hàm khả tích sao cho $g \leq g_1$ và $\mu^*(g) = \mu(g_1)$, chú ý rằng $f - g_1 \leq f - g$).