Exercice 7, § 4

Soit $\mu$ une mesure positive sur $X$. Pour toute partie $A \subset X$, on appelle mesure intérieure de $A$ et on note $\mu_*(A)$ l’intégrale inférieure (exerc. 5) de la fonction caractéristique $\varphi_A$.

a) Montrer que $\mu_*(A)$ est la borne supérieure des mesures des ensembles compacts contenus dans $A$ (raisonner comme dans le th. 4).

b) Pour toute partie $A$ de $X$, de mesure extérieure finie, montrer qu’il existe deux ensembles intégrables $A_1, A_2$ tels que $A_1 \subset A \subset A_2$ et que $\mu_*(A) = \mu(A_1), \mu^*(A) = \mu(A_2)$. Pour que $A$ soit intégrable, il faut et il suffit que $\mu^*(A)$ et $\mu_*(A)$ soient finis et égaux. Avec les mêmes notations, montrer qu’on a

et

c) Soit $A$ un ensemble intégrable: montrer que pour tout ensemble $B \subset A$, on a $\mu(A) = \mu^*(B) + \mu_*(A \cap \complement B)$.

d) Soient $A$ et $B$ deux ensembles de mesure extérieure finie et sans point commun. Montrer que, si $C = A \cup B$, on a

et que

(pour cette dernière inégalité, se ramener au cas où à l’aide de $b$); si $A_2$ et $B_2$ sont des ensembles intégrables tels que $A \subset A_2$, $B \subset B_2$, $\mu^*(A) = \mu(A_2)$, $\mu^*(B) = \mu(B_2)$, montrer que