Bài tập 7, § 4

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $X$. Với mọi tập con $A \subset X$, tích phân dưới (Bài tập 5) của hàm đặc trưng $\varphi_A$ được gọi là độ đo trong của $A$ và được ký hiệu $\mu_*(A)$.

a) Chứng minh rằng $\mu_*(A)$ là cận trên đúng của các độ đo của các tập compact được chứa trong $A$ (lập luận như trong Định lý 4).

b) Với mọi tập con $A$ của $X$ có độ đo ngoài hữu hạn, chứng minh rằng tồn tại hai tập khả tích $A_1, A_2$ sao cho $A_1 \subset A \subset A_2$ và $\mu_*(A) = \mu(A_1), \mu^*(A) = \mu(A_2)$. Để $A$ khả tích, điều kiện cần và đủ là $\mu^*(A)$ và $\mu_*(A)$ hữu hạn và bằng nhau. Với cùng các ký hiệu đó, chứng minh rằng

và

c) Cho $A$ là một tập khả tích; chứng minh rằng với mọi tập $B \subset A$, ta có $\mu(A) = \mu^*(B) + \mu_*(A \cap \mathbf{C}B)$.

d) Cho $A$ và $B$ là hai tập có độ đo ngoài hữu hạn và rời nhau. Chứng minh rằng nếu $C = A \cup B$, thì

và rằng

(đối với bất đẳng thức sau, rút gọn về trường hợp $\mu_*(A) = \mu_*(B) = 0$ nhờ b); nếu $A_2$ và $B_2$ là các tập khả tích sao cho $A \subset A_2, B \subset B_2, \mu^*(A) = \mu(A_2), \mu^*(B) = \mu(B_2)$, chứng minh rằng $\mu_*(C) \leq \mu(A_2 \cap B_2)$).