Exercice 8, § 4

Si on identifie canoniquement le tore $T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ à l’intervalle $[0, 1[$ de $\mathbf{R}$, la mesure de Lebesgue $\mu$ sur cet intervalle est une mesure sur $T$; pour tout ensemble $A \subset T$ et tout $z \in T$, on a $\mu^*(A + z) = \mu^*(A)$.

a) Montrer qu’il existe un sous-groupe $H_0$ de $T$ tel que les ensembles $H_n = r_n + H_0$, où $r_n$ parcourt l’ensemble des nombres rationnels contenus dans $[0, 1[$, forment une partition de $T$ (en considérant $\mathbf{R}$ comme espace vectoriel sur $\mathbf{Q}$, remarquer que dans $\mathbf{R}$, le sous-espace $\mathbf{Q}$ admet un supplémentaire).

b) Soit $H$ un ensemble réunion d’un nombre fini quelconque d’ensembles $H_n$; montrer que $H$ n’est pas intégrable et qu’on a $\mu_*(H) = 0$ (remarquer que tout sous-groupe du groupe additif $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ engendré par un nombre fini d’éléments est d’indice infini dans $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$; en déduire qu’il existe une partition de $T$ en une infinité dénombrable d’ensembles $P_n$, dont chacun contient un ensemble de la forme $z + H$).

c) Déduire de $b$ un exemple d’une suite décroissante $(A_n)$ de parties de $T$ dont l’intersection est vide et qui est telle que $\mu^*(A_n) = 1$ pour tout $n$.

d) Soit $A$ un ensemble intégrable tel que $H_0 \subset A$ et

montrer que, pour tout ensemble intégrable $B \subset A$, les ensembles $B_1 = B \cap H_0$ et $B_2 = B \cap C H_0$ forment une partition de $B$ telle que $\mu^*(B_1) = \mu^*(B_2) = \mu(B)$ et $\mu_*(B_1) = \mu_*(B_2) = 0$ (utiliser l’exerc. 7 b)).