Bài tập 8, § 4

Nếu xuyến $T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ được đồng nhất một cách chính tắc với khoảng $[0, 1[$ của $\mathbf{R}$, độ đo Lebesgue $\mu$ trên khoảng này là một độ đo trên $T$; với mọi tập hợp $A \subset T$ và mọi $z \in T$, $\mu^*(A + z) = \mu^*(A)$.

a) Chỉ ra rằng tồn tại một nhóm con $H_0$ của $T$ sao cho các tập hợp $H_n = r_n + H_0$, trong đó $r_n$ chạy qua tập hợp các số hữu tỉ được chứa trong $[0, 1[$, tạo thành một phân hoạch của $T$ (xem $\mathbf{R}$ như một không gian vectơ trên $\mathbf{Q}$, chú ý rằng trong $\mathbf{R}$ không gian con $\mathbf{Q}$ có một phần bù).

b) Cho $H$ là một tập hợp là hợp của một số hữu hạn tùy ý các tập hợp $H_n$; chỉ ra rằng $H$ không khả tích và rằng $\mu_*(H) = 0$ (chú ý rằng mọi nhóm con của nhóm cộng $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$ được sinh bởi một số hữu hạn phần tử đều có chỉ số vô hạn trong $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$; từ đó, suy ra rằng tồn tại một phân hoạch của $T$ thành một vô hạn đếm được các tập hợp $P_n$, mỗi tập hợp trong đó chứa một tập hợp có dạng $z + H$).

c) Suy ra từ b) một ví dụ về một dãy giảm $(A_n)$ các tập con của $T$, có giao là rỗng, và sao cho $\mu^*(A_n) = 1$ với mọi $n$.

d) Cho $A$ là một tập hợp khả tích sao cho $H_0 \subset A$ và $\mu(A) = \mu^*(H_0) > 0$; chỉ ra rằng, với mọi tập hợp khả tích $B \subset A$, các tập hợp $B_1 = B \cap H_0$ và $B_2 = B \cap \mathbf{C}H_0$ tạo thành một phân hoạch của $B$ sao cho $\mu^*(B_1) = \mu^*(B_2) = \mu(B)$ và $\mu_*(B_1) = \mu_*(B_2) = 0$ (dùng Bài tập 7 b)).