Exercice 10, § 5

Soient F un espace de Banach, $f$ une application mesurable de X dans F, telle que l’ensemble A des $x \in X$ où $f(x) \neq 0$ soit réunion dénombrable d’ensembles intégrables. Montrer qu’il existe une suite $(f_n)$ de fonctions continues à support compact, à valeurs dans F, telle que la suite $(f_n(x))$ converge presque partout vers $f(x)$ dans X (remarquer d’une part que A est réunion d’un ensemble négligeable N et d’une suite d’ensembles compacts $K_n$ deux à deux sans point commun et tels que la restriction de $f$ à chacun des $K_n$ soit continue ; d’autre part, qu’il existe une suite décroissante $(U_n)$ d’ensembles ouverts contenant A et tels que $\mu(U_n \cap \complement A)$ tende vers 0 lorsque $n$ croît-indéfiniment).