Bài tập 10, § 5

Cho $F$ là một không gian Banach, $f$ là một ánh xạ đo được từ $X$ vào $F$, sao cho tập hợp $A$ gồm các $x \in X$ nơi $f(x) \neq 0$ là một hợp đếm được của các tập hợp khả tích. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(f_n)$ các hàm liên tục có giá compact, lấy giá trị trong $F$, sao cho dãy $(f_n(x))$ hội tụ đến $f(x)$ hầu khắp nơi trong $X$ (chú ý một mặt rằng $A$ là hợp của một tập hợp không đáng kể $N$ và một dãy các tập hợp compact rời nhau từng đôi một $K_n$ sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục; và mặt khác, rằng tồn tại một dãy giảm $(U_n)$ các tập hợp mở chứa $A$ sao cho $\mu(U_n \cap \complement A)$ tiến tới 0 khi $n$ tiến tới vô hạn).