Exercice 15, § 5

Soit $\mu$ une mesure positive sur X. On dit qu’une fonction numérique (finie ou non) $f$ définie dans X est quasi-intégrable si elle est mesurable et si on a $\mu^*(f) = \mu_*(f)$ (§ 4, exerc. 5). On pose alors

on écrit encore $\int f d\mu$ au lieu de $\mu(f)$.

a) Montrer que si $f$ et $g$ sont quasi-intégrables, et si la somme $\mu(f) + \mu(g)$ est définie, $f + g$ est définie presque partout et est quasi-intégrable, et $\mu(f + g) = \mu(f) + \mu(g)$.

b) Déduire de a) que, pour que $f$ soit quasi-intégrable, il faut et il suffit que $f$ soit mesurable et qu’un au moins des nombres $\mu^*(f^+)$, $\mu^*(f^-)$ soit fini; on a alors $\mu(f) = \mu^*(f^+) - \mu^*(f^-)$.