Bài tập 15, § 5

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $X$. Một hàm số số học $f$ (hữu hạn hoặc không) xác định trên $X$ được gọi là khả tích gần đúng nếu nó đo được và nếu $\mu^*(f) = \mu_*(f)$ ($§ 4$, Bài tập 5). Khi đó, ta đặt

một lần nữa, ta viết $\int f \, d\mu$ thay cho $\mu(f)$.

a) Chứng minh rằng nếu $f$ và $g$ là khả tích gần đúng và nếu tổng $\mu(f) + \mu(g)$ được xác định, thì $f + g$ được xác định hầu khắp nơi và là khả tích gần đúng, và $\mu(f + g) = \mu(f) + \mu(g)$.

b) Suy ra từ a) rằng, để $f$ là khả tích gần đúng, điều kiện cần và đủ là $f$ đo được và ít nhất một trong các số $\mu^*(f^+), \mu^*(f^-)$ là hữu hạn; khi đó, $\mu(f) = \mu^*(f^+) - \mu^*(f^-)$.