Exercice 2, § 5

Soient $\nu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$, $g$ une application continue de $\mathbf{R}$ dans $\{0, 1\}$, de support contenu dans $]-1, 2[$ et égale à 1 dans $(0, 1)$, $\mu$ la mesure $g \cdot \nu$ sur $\mathbf{R}$. L’ensemble $H_0 \subset \{0, 1\}$ défini dans l’exerc. 8 du § 4 n’est pas $\mu$-mesurable, mais l’ensemble $H = H_0 - 2$ est $\mu$-négligeable.

a) Si l’on pose $f(x) = x - 2$, $f$ est continue et $\varphi_H$ est $\mu$-mesurable, mais la fonction composée $\varphi_H \circ f$ n’est pas $\mu$-mesurable.

b) Si l’on pose $h(x) = x + 2$, l’image $h(H)$ de l’ensemble $\mu$-mesurable $H$ par la fonction continue $h$ n’est pas $\mu$-mesurable.