Bài tập 2, § 5

Cho $\nu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$, g là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $[0, 1]$ có giá đỡ được chứa trong $]-1, 2[$ và bằng 1 trên $[0, 1]$, và cho $\mu$ là độ đo $g \cdot \nu$ trên $\mathbf{R}$. Tập hợp $H_0 \subset [0, 1]$ được xác định trong Bài tập 8 của §4 không $\mu$-đo được, nhưng tập hợp $H = H_0 - 2$ là $\mu$-không đáng kể.

a) Nếu đặt $f(x) = x - 2$, thì $f$ là liên tục và $\varphi_H$ là $\mu$-đo được, nhưng hàm hợp $\varphi_H \circ f$ không $\mu$-đo được.

b) Nếu đặt $h(x) = x + 2$, ảnh $h(H)$ của tập hợp H $\mu$-đo được qua hàm liên tục $h$ không $\mu$-đo được.