Exercice 24, § 5

Soient $X$ l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X$. Montrer que pour tout espace de Banach $F$, toute forme linéaire continue sur $\mathscr{S}_F$ est identiquement nulle. (Pour tout voisinage $V$ de 0 dans $\mathscr{S}_F$, montrer qu’il y a un entier $n > 0$ tel que $V + V + \cdots + V$ ($n$ fois) contienne une droite).