Exercice 25, § 5

a) Pour qu’une partie $H$ de $\mathscr{S}_F$ soit précompacte, il faut et il suffit que, pour tout $\varepsilon > 0$ et tout ensemble intégrable $A \subset X$, il existe un ensemble compact $M \subset F$ et une partition de $A$ en un nombre fini d’ensembles intégrables $A_i$, tels que, pour toute $f \in H$, il existe un ensemble intégrable $B \subset A$, de mesure $\mu(B) \leq \varepsilon$, et ayant les propriétés suivantes : $1^0$ tout point de $f(A - B)$ est à une distance $\leq \varepsilon$ de $M$; $2^0$ dans chacun des ensembles $A_i \cap C B$, l’oscillation de $f$ est $\leq \varepsilon$.

b) Montrer que pour qu’une partie $H$ de $\mathscr{L}_F^1$ soit relativement quasi-compacte, il faut et il suffit qu’elle soit précompacte dans $\mathscr{S}_F$ et équiintégrable.

c) Pour qu’une suite $(f_n)$ de fonctions de $\mathscr{L}_F^1$ soit une suite de Cauchy pour la topologie de la convergence en moyenne, montrer qu’il faut et il suffit que $(f_n)$ soit une suite de Cauchy pour la topologie de la convergence en mesure et que l’ensemble des $f_n$ soit équiintégrable.

d) Etendre ces propriétés aux espaces $\mathscr{L}_F^p$ pour $p > 1$.