Bài tập 25, § 5

a) Để một tập con H của $\mathscr{S}_F$ là tiền compact, điều kiện cần và đủ là, với mọi ε > 0 và mọi tập hợp khả tích A ⊂ X, tồn tại một tập compact M ⊂ F và một phân hoạch của A thành một số hữu hạn các tập hợp khả tích A_i sao cho, với mọi f ∈ H, tồn tại một tập hợp khả tích B ⊂ A có độ đo μ(B) ≤ ε và có các tính chất sau: 1° mọi điểm của f(A − B) có khoảng cách ≤ ε đến M; 2° trong mỗi tập hợp A_i ∩ C B, độ dao động của f là ≤ ε. b) Chứng minh rằng để một tập con H của $\mathscr{L}_F^1$ là tương đối gần compact, điều kiện cần và đủ là nó tiền compact trong $\mathscr{S}_F$ và đồng khả tích. c) Để một dãy (f_n) các hàm trong $\mathscr{L}_F^1$ là một dãy Cauchy đối với tôpô hội tụ trung bình, hãy chứng minh rằng điều kiện cần và đủ là (f_n) là một dãy Cauchy đối với tôpô hội tụ theo độ đo và tập hợp các f_n là đồng khả tích. d) Mở rộng các tính chất này cho các không gian $\mathscr{L}_F^p$ với p > 1.