Exercice 27, § 5

Soient $X$ un espace localement compact, $\mu$ une mesure réelle sur $X$, $K$ une partie compacte de $X$, $(f_n)$ une suite de fonctions numériques $\mu$-mesurables bornées définies dans K et séparant les points de K. Montrer que pour toute fonction numérique $\mu$-mesurable g bornée définie dans K, et tout $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme $h = P((f_n))$ par rapport aux $f_n$, et une partie compacte $K_1$ de K, tels que $\|h\| \leq 2\|g\|$, que $|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$ et que, pour tout $x \in K_1$, on ait $|h(x) - g(x)| \leq \varepsilon$. (Considérer l’application $x \mapsto (f_n(x))$ de K dans $\mathbf{R}^N$ et l’adhérence de son image, et appliquer convenablement le th. de Weierstrass-Stone). En déduire que pour $1 \leq p < +\infty$, l’ensemble des polynômes par rapport aux $f_n$ est dense dans $\mathscr{L}^p(K)$. Ces propriétés sont-elles encore vraies quand on remplace la suite $(f_n)$ par une famille non dénombrable de fonctions mesurables bornées, séparant les points de K?