Bài tập 27, § 5

Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo thực trên X, K là một tập con compact của X, (f_n) là một dãy các hàm số bị chặn μ-đo được xác định trên K và tách các điểm của K. Hãy chứng minh rằng với mọi hàm số g bị chặn μ-đo được xác định trên K, và mọi ε > 0, tồn tại một đa thức h = P((f_n)) theo các f_n, và một tập con compact K_1 của K, sao cho \|h\| ≤ 2\|g\|, |\mu|(K − K_1) ≤ ε, và, với mọi x ∈ K_1, |h(x) − g(x)| ≤ ε. (Xét ánh xạ x ↦ (f_n(x)) của K vào $\mathbf{R}^N$ và bao đóng của ảnh của nó, rồi áp dụng định lý Stone–Weierstrass một cách thích hợp.) Từ đó, hãy suy ra rằng đối với 1 ≤ p < +∞, tập hợp các đa thức theo các f_n là trù mật trong $\mathscr{L}^p$(K). Các tính chất này có còn đúng khi dãy (f_n) được thay bởi một họ không đếm được các hàm đo được bị chặn tách các điểm của K không?