Exercice 28, § 5

Soient X un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur X, P l’ensemble des fonctions numériques (finies ou non) $f \geq 0$ définies dans X et $\mu$-mesurables. Soit $\lambda$ une fonction à valeurs $\geq 0$ (finie ou non) positivement homogène, croissante et convexe définie dans P (cf. chap. I, n° 1) et telle en outre que : $1^0 \; \lambda(f) = 0$ pour toute fonction $\mu$-négligeable $f \geq 0$; $2^0$ pour toute suite croissante $(f_n)$ de fonctions de P, $\lambda(\sup_n f_n) = \sup_n \lambda(f_n)$. Pour tout espace de Banach F, on désigne par $\mathscr{L}_{F}^{\lambda}$ l’ensemble des applications $\mu$-mesurables $f$ de X dans F telles que $\lambda(|f|)$ soit fini. Montrer que $\lambda(|f|)$ est une semi-norme sur $\mathscr{L}_{F}^{\lambda}$, et que $\mathscr{L}_{F}^{\lambda}$ est complet pour la topologie définie par cette semi-norme.