Bài tập 28, § 5

Cho X là một không gian compact địa phương, μ là một độ đo dương trên X, và P là tập hợp các hàm số (hữu hạn hoặc không) f ≥ 0 xác định trên X và μ-đo được. Cho λ là một hàm xác định trên P với các giá trị ≥ 0 (hữu hạn hoặc không), thuần nhất dương, tăng và lồi (xem Ch. I, No. 1) và hơn nữa thỏa mãn: 1° λ(f) = 0 với mọi hàm số μ-không đáng kể f ≥ 0; 2° với mọi dãy tăng (f_n) các hàm số trong P, λ(\sup_n f_n) = \sup_n λ(f_n). Với mọi không gian Banach F, ký hiệu $\mathscr{L}_F$^λ là tập hợp các ánh xạ μ-đo được f từ X vào F sao cho λ(|f|) là hữu hạn. Chứng minh rằng λ(|f|) là một nửa chuẩn trên $\mathscr{L}_F$^λ, và rằng $\mathscr{L}_F$^λ là đầy đủ đối với tôpô xác định bởi nửa chuẩn này.