Exercice 29, § 5

Soit $\mu$ une mesure sur un espace localement compact X. Pour toute fonction numérique $\mu$-mesurable $f \geq 0$ définie dans X, l’application $f'_{\mu}: t \mapsto |\mu|(f^{-1}([t, +\infty)))$ de $\mathbf{R}_+$ dans $\bar{\mathbf{R}}_+$ est décroissante et continue à droite. Si $\nu$ est une mesure sur un second espace localement compact Y et g une fonction numérique $\nu$-mesurable et $\geq 0$ définie dans Y, on dit que $f$ et g sont équimesurables (pour $\mu$ et $\nu$ respectivement) si l’on a $f'_{\mu} = g'_{\nu}$. On désigne par $f^*$ (ou $f^*_\mu$) la fonction définie dans $\mathbf{R}_+$, égale pour tout $s \in \mathbf{R}_+$ à la borne supérieure dans $\bar{\mathbf{R}}_+$ de l’ensemble des nombres $a$ tels que $f'_\mu(a) \geq s$ (borne égale à 0 si cet ensemble est vide).

a) Montrer que la fonction $f^*$ est décroissante, continue à gauche dans $\mathbf{R}_+$ et équimesurable à $f$ (pour la mesure $\mu$ et la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}_+$); on dit que $f^*$ est le réarrangement décroissant de $f$.

b) Si $0 \leq f \leq g$ sont deux fonctions $\mu$-mesurables dans X, montrer que l’on a $f^* \leq g^*$. Si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions $\mu$-mesurables $\geq 0$ dans X, et $f = \sup_n f_n$, montrer que l’on a

en tous les points où $f^*$ est continue.

c) Montrer que pour toute fonction numérique $\mu$-mesurable $f \geq 0$, on a $|\mu|^*(f) = \int^* f^*(s) \, ds$. (Considérer d’abord le cas d’une fonction étagée, puis utiliser b)).

d) Soit w une fonction numérique finie (sauf peut-être au point $s = 0$) définie dans $\mathbf{R}_+$ et décroissante. Pour toute fonction numérique $f \geq 0$ définie dans X et $\mu$-mesurable, on pose

Montrer que cette fonction vérifie les conditions de l’exerc. 28. (Pour prouver qu’elle est convexe, on considérera d’abord le cas où w est une fonction en escalier décroissante, en utilisant c), puis on passera à la limite pour traiter le cas général.)

e) Avec les notations de d), on écrit $\mathscr{L}_F^{p,w}$ au lieu de $\mathscr{L}_F^\lambda$, et l’on pose $N_{p,w}(f) = \lambda(|f|)$ pour toute application $\mu$-mesurable f de X dans F. Montrer que si $f \in \mathscr{L}_F^{p,w}$, et si, pour tout n, on désigne par $f_n$ la fonction égale à f si $|f| \leq n$, à $nf/|f|$ si $|f| > n$, la suite $(|f_n|^*)$ tend presque partout vers $|f|^*$ et que l’on a $\lim_{n \to \infty} N_{p,w}(f - f_n) = 0$. Si f est $\mu$-négligeable, on a $N_{p,w}(f) = 0$.