Bài tập 29, § 5

Cho μ là một độ đo trên một không gian địa phương compact X. Với mọi hàm số số học μ-đo được f ≥ 0 xác định trên X, ánh xạ f'_μ : t ↦ |\mu|^*(f([t, +∞])) từ $\mathbf{R}_+$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ là giảm và liên tục phải. Nếu $\nu$ là một độ đo trên một không gian địa phương compact thứ hai Y và g là một hàm số số học $\nu$-đo được $\geqslant 0$ xác định trên Y, f và g được gọi là cùng phân bố đo được (tương ứng đối với $\mu$ và $\nu$) nếu $f'_\mu = g'_\nu$. Ta ký hiệu $f^*$ (hoặc $f^*_\mu$) là hàm xác định trên $\mathbf{R}_+$ bằng, với mọi $s \in \mathbf{R}_+$, cận trên trong $\overline{\mathbf{R}}_+$ của tập hợp các số a sao cho $f'_\mu(a) \geqslant s$ (cận trên bằng 0 nếu tập hợp này rỗng).

a) Chứng minh rằng hàm $f^*$ là giảm, liên tục trái trong $\mathbf{R}_+$, và cùng phân bố đo được với f (đối với độ đo $\mu$ và độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}_+$); $f^*$ được gọi là sự sắp xếp lại giảm của f.

b) Nếu $0 \leqslant f \leqslant g$ là hai hàm $\mu$-đo được trên X, chứng minh rằng $f^* \leqslant g^*$. Nếu $(f_n)$ là một dãy tăng các hàm $\mu$-đo được $\geqslant 0$ trên X, và $f = \sup_n f_n$, chứng minh rằng $f^*(s) = \sup_n f^*_n(s)$ tại mọi điểm mà $f^*$ liên tục.

c) Chứng minh rằng với mọi hàm số số học $\mu$-đo được $f \geqslant 0$, $|\mu|^*(f) = \int^* f^*(s) \, ds$. (Trước hết xét trường hợp hàm bậc thang, sau đó sử dụng b).)

d) Cho w là một hàm số số học xác định trên $\mathbf{R}_+$ hữu hạn (trừ có thể tại điểm $s = 0$) và giảm. Với mọi hàm số số học $\mu$-đo được $f \geqslant 0$ xác định trên X, đặt

Chứng minh rằng hàm này thỏa mãn các điều kiện của Exer. 28. (Để chứng minh nó là lồi, trước hết xét trường hợp w là một hàm bậc thang giảm, sử dụng c), sau đó qua giới hạn để xét trường hợp tổng quát.)

e) Với các ký hiệu của d), viết $\mathscr{L}_F^{p,w}$ thay cho $\mathscr{L}_F^\lambda$, và đặt $N_{p,w}(f) = \lambda(|f|)$ với mọi ánh xạ f $\mu$-đo được từ X vào F. Chứng minh rằng nếu $f \in \mathscr{L}_F^{p,w}$ và nếu, với mỗi n, $f_n$ là hàm bằng f nếu $|f| \leqslant n$ và bằng $nf/|f|$ nếu $|f| > n$, thì dãy $(|f_n|^*)$ hội tụ hầu khắp nơi đến $|f|^*$ và ta có $\lim_{n \to \infty} N_{p,w}(f - f_n) = 0$.

Nếu f là $\mu$-tầm thường, thì $N_{p,w}(f) = 0$.