Exercice 4, § 5

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = \{0, 1\}$, et soit $(H_n)$ une partition de $X$ en une suite infinie d’ensembles de puissance du continu dont aucun n’est mesurable, et qui sont tels que, pour toute réunion H d’un nombre fini d’ensembles H_n, on ait $\mu_*(H) = 0$ (§ 4, exerc. 8). Soit $\sigma_n$ une bijection de l’intervalle $]1/(n+1), 1/n]$ sur H_n. Pour tout nombre y tel que $0 < y \leq 1$, soit n l’entier tel que $1/(n+1) < y \leq 1/n$. On définit $f_y$ comme la fonction caractéristique de l’ensemble réduit au point $\sigma_n(y)$; pour tout $x \in X$, $f_y(x)$ tend vers 0 lorsque y tend vers 0. Montrer qu’il n’existe aucun ensemble compact K $\subset X$ de mesure $> 0$ tel que $f_y$ tende uniformément vers 0 dans K.