Bài tập 4, § 5

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = [0, 1[$, và cho $(H_n)$ là một phân hoạch của X thành một dãy vô hạn các tập hợp có lực lượng của continuum, không tập hợp nào trong chúng đo được, và sao cho với mọi hợp H của một số hữu hạn các tập hợp $H_n$, $\mu_*(H) = 0$ (§4, Bài tập 8). Cho $\sigma_n$ là một song ánh của khoảng $]1/(n+1), 1/n]$ lên $H_n$. Với mọi số y sao cho $0 < y \leq 1$, cho n là số nguyên sao cho $1/(n+1) < y \leq 1/n$. Định nghĩa $f_y$ là hàm đặc trưng của tập hợp thu gọn về điểm $\sigma_n(y)$; với mọi $x \in X$, $f_y(x)$ tiến tới 0 khi y tiến tới 0. Chứng minh rằng không tồn tại tập compact $K \subset X$ nào có độ đo $> 0$ sao cho $f_y$ hội tụ đều về 0 trên K.