Exercice 5, § 5

Soit $(f_{mn})$ une suite double d’applications mesurables de X dans un espace métrisable F. On suppose que, pour tout m, la suite $(f_{mn})_{n \geq 1}$ converge localement presque partout vers une fonction $g_m$, et que la suite $(g_m)$ converge localement presque partout vers une fonction h. Montrer que, pour toute partie compacte K de X, il existe deux suites strictement croissantes $(m_k), (n_k)$ d’entiers $> 0$, telles que la suite des fonctions $f_{m_k, n_k}$ converge presque partout vers h dans K. (Remarquer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K_1 \subset K$ tel que $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$ et que dans $K_1$ la suite $(g_m)$ et chacune des suites $(f_{mn})_{n \geq 1}$ soient uniformément convergentes).