Bài tập 5, § 5

Cho $(f_{mn})$ là một dãy kép các ánh xạ đo được từ X vào một không gian mêtric F. Giả sử rằng với mọi m, dãy $(f_{mn})_{n \geq 1}$ hội tụ địa phương hầu khắp nơi tới một hàm $g_m$, và dãy $(g_m)$ hội tụ địa phương hầu khắp nơi tới một hàm h. Chứng minh rằng với mọi tập con compact K của X, tồn tại hai dãy tăng ngặt $(m_k), (n_k)$ các số nguyên $> 0$, sao cho dãy các hàm $f_{m_k, n_k}$ hội tụ tới h hầu khắp nơi trong K. (Chú ý rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K_1 \subset K$ sao cho $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$ và sao cho trong $K_1$ dãy $(g_m)$ và mỗi dãy $(f_{mn})_{n \geq 1}$ đều hội tụ đều.)