Exercice 9, § 5

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = \{0, 1\}$; on désigne par F l’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ des fonctions numériques finies $\mu$-mesurables sur X, muni de la topologie de la convergence simple, qui en fait un espace localement convexe séparé.

a) Montrer qu’il existe dans F une partie dénombrable partout dense (considérer une suite partout dense dans l’espace de Banach $C(X; \mathbf{R})$ des fonctions numériques continues dans X).

b) Pour tout $x \in X$, soit $f(x)$ l’élément du dual $F'$ de F défini par $\langle z, f(x) \rangle = z(x)$ pour tout $z \in F$. Montrer que lorsque $F'$ est muni de la topologie faible $\sigma(F', F)$, $f$ n’est pas $\mu$-mesurable mais $\langle a, f \rangle$ est $\mu$-mesurable pour tout $a \in F$.