Bài tập 9, § 5

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = [0, 1]$; ký hiệu $F$ là không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ của các hàm số nhận giá trị số hữu hạn $\mu$-đo được trên $X$, được trang bị tôpô hội tụ điểm, tôpô này làm cho nó là một không gian lồi địa phương Hausdorff.

a) Chứng minh rằng tồn tại trong $F$ một tập con đếm được trù mật (xét một dãy trù mật trong không gian Banach $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ của các hàm số liên tục nhận giá trị số trên $X$).

b) Với mọi $x \in X$, gọi $f(x)$ là phần tử của không gian đối ngẫu $F'$ của $F$ được xác định bởi $\langle z, f(x) \rangle = z(x)$ với mọi $z \in F$. Chứng minh rằng khi $F'$ được trang bị tôpô yếu $\sigma(F', F)$, $f$ không $\mu$-đo được nhưng $\langle a, f \rangle$ là $\mu$-đo được với mọi $a \in F$.