Exercice 10, § 6

Intégration, IV

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

a) Dans un espace de Banach $F$ , soient $a$ et $b$ deux vecteurs tels que $|a| = |b| = 1$ . Montrer que pour tout nombre $t$ tel que $0 \leq t \leq 1$ , et pour tout $p$ tel que $1 \leq p < +\infty$

(1)

|a - tb|^p \leq 2^p |a - t^p b|

(2)

|a - t^p b| \leq 3p |a - tb|

(exprimer

a - t^p b

comme combinaison linéaire de

a - tb

et de

a - b

et remarquer que pour

0 \leq \rho \leq 1

, on a

|a - \rho b| \geq 1 - \rho

|a - b| \leq 2 |a - \rho b|.

En déduire que si

y

z

sont deux vecteurs quelconques de

F

, on a (3)

|y - z|^p \leq 2^p |y|^{p-1} . y - |z|^{p-1} . z|

(4)

||y|^{p-1} . y - |z|^{p-1} . z| \leq 3p |y - z|(|y| + |z|)^{p-1}.

b) Montrer que l’application $f \mapsto |f|^{(1/p)-1} . f$ est une application bijective uniformément continue de $\mathscr{L}_F^1$ sur $\mathscr{L}_F^p$ (utiliser l’inégalité (3)).

c) Montrer que l’application $f \mapsto |f|^{p-1} . f$ de $\mathscr{L}_F^p$ sur $\mathscr{L}_F^1$ est uniformément continue dans toute partie bornée de l’espace $\mathscr{L}_F^p$ (utiliser l’inégalité (4) et l’inégalité de Hölder). En déduire que les espaces topologiques $\mathscr{L}_F^1$ et $\mathscr{L}_F^p$ sont homéomorphes.

Solution

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