Bài tập 10, § 6

a) Trong một không gian Banach $F$, cho $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là hai vectơ sao cho $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1$. Chứng minh rằng với mọi số $t$ sao cho $0 \leq t \leq 1$, và với mọi $p$ sao cho $1 \leq p < +\infty$, (1)

(2) (biểu diễn $\mathbf{a} - t^p\mathbf{b}$ dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của $\mathbf{a} - t\mathbf{b}$ và $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ và chú ý rằng với $0 \leq p \leq 1$, ta có $|\mathbf{a} - p\mathbf{b}| \geq 1 - p$ và $|\mathbf{a} - \mathbf{b}| \leq 2|\mathbf{a} - p\mathbf{b}|$). Từ đó, suy ra rằng nếu $\mathbf{y}$ và $\mathbf{z}$ là hai vectơ bất kỳ trong $F$, thì (3) (4)

b) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto |f|^{(1/p)-1} \cdot f$ là một ánh xạ song ánh liên tục đều từ $\mathscr{L}_F^1$ lên $\mathscr{L}_F^p$ (sử dụng bất đẳng thức (3)).

c) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto |f|^{p-1} \cdot f$ của $\mathscr{L}_F^p$ lên $\mathscr{L}_F^1$ là liên tục đều trên mọi tập con bị chặn của không gian $\mathscr{L}_F^p$ (sử dụng bất đẳng thức (4) và bất đẳng thức Hölder). Suy ra từ đó rằng các không gian tôpô $\mathscr{L}_F^1$ và $\mathscr{L}_F^p$ là đồng phôi.