Exercice 13, § 6

Pour tout nombre $p$ tel que $0 < p < 1$, on désigne par $\mathscr{L}_F^p$ l’ensemble des applications mesurables $f$ de $X$ dans un espace de Banach $F$ telles que $N_p(f) < +\infty$.

a) Montrer que $\mathscr{L}_F^p$ est un espace vectoriel et que, si on désigne par $B_a$ l’ensemble des $f \in \mathscr{L}_F^p$ tels que $N_p(f) \leq a$, les ensembles $B_a$ forment, lorsque $a$ parcourt l’ensemble des nombres $> 0$, un système fondamental de voisinages de $0$ pour une topologie métrisable compatible avec la structure d’espace vectoriel de $\mathscr{L}_F^p$.

b) Montrer que l’application $f \mapsto \|f\|^{p-1}\cdot f$ est une application uniformément continue de $\mathscr{L}_F^p$ sur $\mathscr{L}_F^1$ et que l’application réciproque est uniformément continue dans toute partie bornée de $\mathscr{L}_F^1$ (cf. exerc. 10). En déduire que l’espace $\mathscr{L}_F^p$ est complet, et que $\mathscr{K}_F(X)$ est partout dense dans $\mathscr{L}_F^p$.

c) Si la mesure $\mu$ est bornée, on a $\mathscr{L}_F^1 \subset \mathscr{L}_F^p$, et la topologie de la convergence en moyenne est plus fine que la topologie induite sur $\mathscr{L}_F^1$ par celle de $\mathscr{L}_F^p$.

d) On prend pour $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = \{0, 1\}$. Montrer que pour toute fonction continue $f \geq 0$, il existe une décomposition $f = \frac{1}{2}(f_1 + f_2)$ où $f_1$ et $f_2$ sont deux fonctions $\geq 0$ de $\mathscr{L}^p$ telles que $N_p(f_1) = N_p(f_2) = 2^{1 - (1/p)}N_p(f)$. En déduire que, dans $\mathscr{L}^p$, l’enveloppe convexe fermée de tout voisinage $B_a$ est l’espace $\mathscr{L}^p$ tout entier, et par suite que toute forme linéaire continue sur $\mathscr{L}^p$ est identiquement nulle.