Bài tập 13, § 6

Với mọi số $p$ sao cho $0 < p < 1$, ký hiệu $\mathscr{L}_F^p$ là tập hợp các ánh xạ đo được $f$ của $X$ vào một không gian Banach $F$ sao cho $N_p(f) < +\infty$.

a) Chứng minh rằng $\mathscr{L}_F^p$ là một không gian vectơ và rằng, nếu $B_a$ ký hiệu tập hợp các $f \in \mathscr{L}_F^p$ sao cho $N_p(f) \leqslant a$, thì các tập hợp $B_a$ tạo thành, khi $a$ chạy qua tập hợp các số $> 0$, một hệ cơ bản các lân cận của $0$ đối với một tôpô mêtric tương thích với cấu trúc không gian vectơ của $\mathscr{L}_F^p$.

b) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto |f|^{p-1} \cdot f$ là một ánh xạ liên tục đều của $\mathscr{L}_F^p$ lên $\mathscr{L}_F^1$ và rằng ánh xạ nghịch đảo là liên tục đều trên mọi tập con bị chặn của $\mathscr{L}_F^1$ (xem Bài tập 10). Suy ra từ đó rằng không gian $\mathscr{L}_F^p$ là đầy đủ, và rằng $\mathscr{K}_F(X)$ trù mật trong $\mathscr{L}_F^p$.

c) Nếu độ đo $\mu$ bị chặn, thì $\mathscr{L}_F^1 \subset \mathscr{L}_F^p$ và tôpô của sự hội tụ theo trung bình mịn hơn tôpô cảm sinh trên $\mathscr{L}_F^1$ bởi tôpô của $\mathscr{L}_F^p$.

d) Lấy $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = [0, 1]$. Chứng minh rằng với mọi hàm liên tục $f \geqslant 0$, tồn tại một phân tích $f = \frac{1}{2}(f_1 + f_2)$, trong đó $f_1$ và $f_2$ là hai hàm $\geqslant 0$ của $\mathscr{L}^p$ sao cho $N_p(f_1) = N_p(f_2) = 2^{1-(1/p)} N_p(f)$. Suy ra từ đó rằng, trong $\mathscr{L}^p$, bao lồi đóng của mọi lân cận $B_a$ là toàn bộ không gian $\mathscr{L}^p$, do đó mọi dạng tuyến tính liên tục trên $\mathscr{L}^p$ đều đồng nhất bằng không.