Exercice 14, § 6

Soient $p$ et $q$ deux nombres réels finis et $> 0$ quelconques et soit $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ une fonction numérique continue définie dans $\mathbf{R}^n$.

a) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = \{0, 1\}$. Afin que, pour tout système de $n$ fonctions $g_k \in \mathscr{L}^p$, la fonction $f(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ appartienne à $\mathscr{L}^q$, il faut et il suffit qu’il existe un nombre $a > 0$ tel que l’on ait

(Pour voir que la condition est nécessaire, raisonner par l’absurde, en supposant que pour tout entier $m > 0$, il existe un point $(x_{1m}, \ldots, x_{nm})$ de $\mathbf{R}^n$ tel que

Montrer alors qu’il existerait dans $X$ une suite $(A_m)$ d’intervalles deux à deux sans point commun telle qu’en posant $g_k(t) = x_{km}$ pour tout $t \in A_m$, $g_k(t) = 0$ pour tout point $t$ n’appartenant à aucun des $A_m$, chacune des fonctions $g_k$ appartiendrait à $\mathscr{L}^p$, mais $f(g_1, \ldots, g_n)$ n’appartiendrait pas à $\mathscr{L}^q$.

b) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$. Afin que, pour tout système de $n$ fonctions $g_k \in \mathscr{L}^p$, la fonction $f(g_1, \ldots, g_n)$ appartienne à $\mathscr{L}^q$, il faut et il suffit qu’il existe un nombre $b > 0$ tel que l’on ait

(même méthode).