Bài tập 14, § 6

Cho $p$ và $q$ là hai số thực hữu hạn bất kỳ $> 0$ và cho $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ là một hàm số liên tục xác định trên $\mathbf{R}^n$.

a) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $X = [0, 1]$. Để với mọi hệ gồm $n$ hàm $g_k \in \mathscr{L}^p$, hàm $f(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ thuộc $\mathscr{L}^q$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số $a > 0$ sao cho

(Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng với mọi số nguyên $m > 0$, tồn tại một điểm $(x_{1m}, \ldots, x_{nm})$ của $\mathbf{R}^n$ sao cho

Chứng minh rằng khi đó sẽ tồn tại trong X một dãy $(A_m)$ gồm các khoảng rời nhau từng đôi một sao cho, khi đặt $g_k(t) = x_{km}$ với mọi $t \in A_m$ và $g_k(t) = 0$ với mọi điểm t không thuộc bất kỳ $A_m$ nào, mỗi hàm $g_k$ đều thuộc $\mathscr{L}^p$ nhưng $f(g_1, \ldots, g_n)$ không thuộc $\mathscr{L}^q$.)

b) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$. Để với mọi hệ gồm n hàm $g_k \in \mathscr{L}^p$, hàm $f(g_1, \ldots, g_n)$ thuộc $\mathscr{L}^q$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số $b > 0$ sao cho

(cùng phương pháp).