Exercice 16, § 6

Intégration, IV

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $X = [0, 2\pi]$ . La suite de fonctions $f_n$ telles que

f_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \quad f_{2n-1} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos nx, \quad f_{2n}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin nx \quad (n \geq 1)

est une suite orthonormale et totale dans l’espace

\mathscr{L}_c^2

(cf. Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, prop. 8). Montrer que la fonction de Lebesgue correspondante

H_n(x)

est indépendante de

x

et que l’on a

H_n \sim 4/\pi \log n

Solution

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