Exercice 18, § 6

Intégration, IV

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soient $X$ un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur $X$ , $f$ une fonction numérique $\mu$ -mesurable.

a) Soit $(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ une suite de nombres réels, $\lambda$ un nombre réel fini ; pour tout $n \in \mathbf{Z}$ , on pose

u_n(x) = a_{n + [\lambda \log |f(x)|]} f(x) \quad \text{si } f(x) \neq 0 \text{ et } f(x) \neq \pm \infty \\ u_n(x) = 0 \text{ pour les autres valeurs de } x \in X

([

t

] désignant la partie entière du nombre réel fini

t

). Montrer que les

u_n

sont

\mu

-mesurables et que pour tout nombre réel fini

c

tel que

c \lambda < 1

, on a

\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \int^* |u_n(x)| e^{cx} \, d\mu(x) \leq e^{|c|} \int^* |f(x)|^{1 - c \lambda} \, d\mu(x) \cdot \left( \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{cn}|a_n| \right).

b) Soient $p', p''$ deux nombres finis $> 0$ , $t$ un nombre réel tel que $0 < t < 1$ , et soit $p$ le nombre réel défini par $1/p = (1 - t)/p' + t'/p''$ . Pour tout nombre $\alpha > 0$ , on pose

1/K_\alpha = \inf \left( \sum_{n = -\infty}^{+\infty} |e^{\alpha tn} a_n|^{p'} \right)^{(1-t)/p'} \left( \sum_{n = -\infty}^{+\infty} |e^{-\alpha(1-t)n} a_n|^{p''} \right)^{t/p''}

la borne inférieure étant prise pour toutes les séries absolument convergentes $(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ de nombres réels finis telles que $\sum_{n = -\infty}^{+\infty} a_n = 1$ . Montrer que l’on a

()

$N_p(f) \leq K_\alpha \cdot \inf F(u)$

(*)

N_p(f) \geq K_\alpha e^{-\alpha} \cdot \inf F(u)

où $u = (u_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ parcourt l’ensemble des suites de fonctions appartenant à $\mathscr{L}^{p'} \cap \mathscr{L}^{p''}$ -telles que la série $(u_n(x))_{n \in \mathbf{Z}}$ soit presque partout absolument convergente et de somme $f(x)$ ; pour toute suite $u$ ayant ces propriétés, on pose

F(u) = \left( \sum_{n = -\infty}^{+\infty} (N_{p'}(e^{\alpha tn} u_n))^{p'} \right)^{(1-t)/p'} \left( \sum_{n = -\infty}^{+\infty} (N_{p''}(e^{-\alpha(1-t)n} u_n))^{p''} \right)^{t/p''}

et dans les formules () et (*) la borne inférieure est prise dans l’ensemble des suites $u = (u_n)$ ayant les propriétés précédentes. (Pour démontrer (), utiliser l’inégalité de Hölder; pour démontrer (*), utiliser deux fois $a$ ) avec des choix convenables de $c$ et de $\lambda$ . En particulier, $K_\alpha$ est fini pour tout $\alpha > 0$ .

c) Soient $p', p'', q', q''$ des nombres finis $\geq 1$ , $t$ un nombre tel que $0 < t < 1$ , et soient

\frac{1}{p} = \frac{1-t}{p'} + \frac{t}{p''}, \quad \frac{1}{q} = \frac{1-t}{q'} + \frac{t}{q''}.

Soient $Y$ un second espace localement compact, $\nu$ une mesure positive sur $Y$ , et soit $w$ une application linéaire de $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ dans l’espace vectoriel (non topologique) $\mathscr{S}(Y, \nu; \mathbf{R})$ des fonctions numériques finies $\nu$ -mesurables sur $Y$ . On suppose que: $1^\circ$ $w$ applique $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ dans $\mathscr{L}^{q'}(Y; \mathbf{R}) \cap \mathscr{L}^{q''}(Y; \mathbf{R}); 2^\circ$ on a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$

N_{q'}(w(f)) \leq M' N_{p'}(f) \quad \text{et} \quad N_{q''}(w(f)) \leq M'' N_{p''}(f).

En conclure que $w$ applique aussi $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ dans $\mathscr{L}^q(Y; \mathbf{R})$ et que l’on a

N_q(w(f)) \leq M \cdot N_p(f)

avec

M \leq {M'}^{1-t} M''

(« inégalité de M. Riesz »). (Ecrire $f$ sous la forme $\sum_n u_n$ comme dans b), et considérer la série de terme général $w(u_n)$ ; utiliser les inégalités () et (*) de b).

Solution

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