Bài tập 18, § 6

Cho $X$ là một không gian địa phương compact, $\mu$ là một độ đo dương trên $X$, và $f$ là một hàm số đo được theo $\mu$.

a) Cho $(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là một dãy các số thực, $\lambda$ là một số thực hữu hạn; với mọi $n \in \mathbf{Z}$, đặt

(trong đó $[t]$ ký hiệu phần nguyên của số thực hữu hạn $t$). Chứng minh rằng các $u_n$ là đo được theo $\mu$ và rằng, với mọi số thực hữu hạn $c$ sao cho $c\lambda < 1$,

b) Cho $p', p''$ là hai số hữu hạn $> 0$, $t$ là một số thực sao cho $0 < t < 1$, và cho $p$ là số thực được xác định bởi $1/p = (1-t)/p' + t/p''$. Với mọi số $\alpha > 0$, đặt

infimum được lấy trên tất cả các chuỗi hội tụ tuyệt đối $(a_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ các số thực hữu hạn sao cho $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n = 1$. Chứng minh rằng ()

$$N_p(f) \leq K_\alpha \cdot \inf F(u)$$

(*) trong đó $u = (u_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ chạy trên tập hợp các dãy các hàm thuộc $\mathscr{L}^{p'} \cap \mathscr{L}^{p''}$ sao cho chuỗi $(u_n(x))_{n \in \mathbf{Z}}$ hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi với tổng là $f(x)$; với mỗi dãy $u$ có các tính chất này, đặt và trong các công thức () và (*) infimum được lấy trên tập hợp các dãy $u = (u_n)$ có các tính chất đã nêu trước đó. (Để chứng minh (), sử dụng bất đẳng thức Hölder; để chứng minh (*), sử dụng a) hai lần với các lựa chọn thích hợp của $c$ và $\lambda$.) Đặc biệt, $K_\alpha$ là hữu hạn với mọi $\alpha > 0$.

c) Cho $p', p'', q', q''$ là các số hữu hạn $\geq 1$, $t$ là một số sao cho $0 < t < 1$, và cho

Cho $Y$ là một không gian compact địa phương thứ hai, $\nu$ là một độ đo dương trên $Y$, và cho $w$ là một ánh xạ tuyến tính từ $\mathscr{H}(X; \mathbf{R})$ vào không gian vectơ (không tôpô) $\mathscr{S}(Y, \nu; \mathbf{R})$ của các hàm số hữu hạn đo được theo $\nu$ trên $Y$. Giả sử rằng: $1^\circ$ $w$ ánh xạ $\mathscr{H}(X; \mathbf{R})$ vào $\mathscr{L}^{q'}(Y; \mathbf{R}) \cap \mathscr{L}^{q''}(Y; \mathbf{R})$; $2^\circ$ với mọi hàm $f \in \mathscr{H}(X; \mathbf{R})$, Từ đó, hãy kết luận rằng $w$ cũng ánh xạ $\mathscr{H}(X; \mathbf{R})$ vào $\mathscr{L}^q(Y; \mathbf{R})$ và rằng với (bất đẳng thức của M. Riesz). (Viết $f$ dưới dạng $\sum_n u_n$ như trong b), và xét chuỗi có số hạng tổng quát là $w(u_n)$; sử dụng các bất đẳng thức () và (*) của b).)